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水乡的风光
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黑暗中的精灵88

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负数的产生及意义曲阜师大附中 273165 宋翠华山东交通学校 26400 王金城世界上最早最详细记载负数概念和运算法则的,是我国公元一世纪出版的《九章算>书中方程章第三题:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中、中取下,下取上,各一秉,而实满斗。问上中下禾实一秉各几何?”这段话的意思是:设上等稻棵2束,中等稻棵3束,下等稻棵4束,出谷后都不满1斗。如果将上等稻棵2束加中等稻棵1束,或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束,将下等稻棵4束加上等稻棵1束,或者将中等稻棵3束加下等稻棵1束,将下等稻棵4束加上等稻棵1束,那么出谷正好都满1斗,问上、中、下等稻棵一束各出谷多少?如分别设上、中、下各禾一秉的谷子量是x,y,z,则按题意列的方程是: 用《九章算术》的直除消元法(类似加减消元法),必然会出现从零减去正数的情况,要使运算进行下去,就必须引进负数。 《九章算术》的“正负术”就是紧接着这个题目之后提出的,这是世界数学史上最卓越的成就之一。“正负术”的全文是:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异明相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”。 前四句是讲正负数以及零之间的减法,意思是“同号相减,异号相加,以零减正得负,以零减负得正。后四句是讲正负数以及零之间的加法,意思是“异号相减,同号相加,零加正得正,零加负得负。”显然这是完全正确的。 至于正负数的乘除法则,《九章算术》在解方程中未必不遇到正负数的乘除运算,可惜书中未记载。例方程章第八题(即九年义务教育三年制初级中学代数第一册(下)第49页第4题)用直除法解之,从计算过程看,不仅遇到正负数的乘法运算,也遇到了正负数的除法运算,可见正负数的乘除法则已被使用,只是书中没记载而已。直到元代杰出数学家朱时杰1299年撰写的《算学启蒙》中才明确指出,正负数的乘法法则是“同名相乘为正,异名相乘为负”。对除法,朱时态虽未明确指出法则,但他在1303年撰写的《四元五鉴》中出现了正负数的除法运算,其法则归纳起来不外乎是“同名相除为正,异名相除为负”。这样到公元十三、十四世纪我国的正负数四则运算法则已臻于完整。 世界上除了我国外,负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。 印度数学重视计算,所以认识负数稍早一些。公元七世纪,婆罗摩芨多开始认识负数并给出负数的运算法则。他对负数的解释是负债与损失。十二世纪,拜斯伽逻在《算法本原》中比较全面地讨论了负数,他得出:“正数、负数的平方,常为正数;正数的平方根有两个,一正一负”还说:“负数没有平方根,因为负数不可能是平方数”。 希腊数学注意几何而忽视计算,他们几乎没有建立过负数的概念。阿拉伯人虽然通过印度人的著作了解到负数和负数的运算,但他们却摒弃负数。 在十二、十三世纪正负数传入欧洲,但并不被接受,到十五世纪在方程的讨论中出现负数。1484年法国的舒开曾给出二次方程的一个负根,不过他没有承认它,说负数是荒廖的数。1545年卡尔丹在《大法》一书中广泛使用了负数,并出现了虚数。十八世纪以前,欧洲数学家对负数大都持保留态度。他们被当时盛行的机械论框住了头脑,认为零是最小的量,比零还小是不可思议的,看不到正负数间的辩证关系。甚至在十八世纪少数数学家,如英国的马塞雷和德·摩尔根,还认为负数是荒谬的数,应该从代数中驱逐出去。由于负数的运算法则在直观上是可靠的,它并没有在计算上引起麻烦,所以人们还是理直气壮的加以使用着。正如法国数学家达朗贝尔所说:“对负数进行运算的代数法则,任何人都是赞成的,并认为是正确的,不管他们对这些量有什么看法。”由于欧洲掌握正负数及其运算太晚,所以在方程史上,欧洲数学家取得的许多享誉世界的成果,都比中国的晚四、五百年甚至一千七八百年。参考文献[1] 袁小明.数学史话.济南:山东教育出版社,1985.3[2] 中外数学简史编写组.中国数学简史,外国数学简史.山东出版社,1986.8[3] 美H·伊夫斯著,欧阳绛译.数学史概论.山西人民出版社,1886 3第46页摘自《中学数学杂志》2000年第5期(总第124期)曲阜师范大学《中学数学杂志》编辑部(273165)
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flower99sunny

曲阜师范大学选修课要修满10分。曲阜师范大学,简称曲阜师大,位于山东省曲阜市,是全国首批招收研究生高校、山东省重点大学、山东省一流学科建设高校、推荐免试攻读硕士研究生高校、教育部实施卓越中学教师培养高校、教育部师德师风建设基地。学校占地面积18亩(含在建曲阜校区扩建项目),固定资产总值53亿元,其中教学科研仪器设备总值62亿元,图书馆纸质藏书447万册、电子图书236万册;公开出版《齐鲁学刊》(第二批国家社科基金资助优秀期刊)、《曲阜师范大学学报(自然科学版)》、《中学数学杂志》和《现代语文》等学术刊物。合作交流:多年来,学校坚持兼容并包,兼收并蓄的学术方针,以广阔的胸襟,开放的眼界,广泛吸纳多元文明成果,先后与韩国、日本、美国、俄罗斯、澳大利亚、新西兰、加拿大等近20个国家87所高校建立了校际友好关系,在联合办学、教师和学生互派、文化学术交流等领域建立了广泛而深入的合作。以上内容参考:曲阜师范大学官网——学校简介

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shaaaronzy

负数是怎样产生的? 中国是世界上首先使用负数的国家.战国时期李悝(约前455~395)在《法经》中已出现使用负数的实例:“衣五人终岁用千五百不足四百五十.”在甘肃居延出土的汉简中,出现了大量的“负算”,如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算,得七算,相除得三算”.以负与得相比较,表示缺少,亏空之意,显然来自生活实践的需要. 从历史上看,负数产生的另一个原因是由于解方程的需要.据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载,由于在解方程组的时候常常会碰到小数减大数的情况,为了使方程组能够解下去,数学家发明了负数.公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义:“两算得矢相反,要以正负以名之”,并辩证地阐明:“言负者未必少,言正者未必正于多.”而西方直到1572年,意大利数学家邦贝利(R.Bombelli,1526~1572)在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义. 由于我国古代数字是用算筹摆出来的,为了区分正数和负数,古代数学家创造了两种方法:一种是用不同颜色的算筹分别表示,通常用红筹表示正数,黑筹表示负数;另一种是采取在正数上面斜放一支筹,来表示负数.因为后者的思想较新,很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数.1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔(A.Girard,1595~1632)在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算,吉拉尔的负数符号得到人们的公认,一直沿用至今. 刘徽在注解《九章算术》“方程”章时给出了正负数的加减法则:“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之”“异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之”.遗憾的是他未能像正负数的加减运算那样,总结出正负数乘除运算的一般法则,而是通过具体的例子予以处理.正负数的乘除法则直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载:“同名相乘为正,异名相乘为负,同名相除所得为正,异名相除所得为负.” 印度最早使用负数的是婆罗摩芨多(Brahmagupta,598~665),他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则,认为负数就是负债和损失,并用小点或小圈标在数字上面表示负数. 西方首先使用负数的是古希腊的丢番图(Diophantus,250年前后),尽管不承认方程的负根,但他已知道“减数乘减数得加数,加数乘减数得减数”.可见对正负数的四则运算他已了如指掌.在解方程中若出现负根,他就放弃这个方程,认为是不可解的.从这可看出负数在西方备受冷落,久久得不到人们的认可.1484年,法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根,却又不承认它,说它是荒谬的数;意大利学者卡丹在《大术》中承认负根,但认为负数是“假数”.直到1637年笛卡尔(Descarts,1596~1650)在《几何》中认真考虑了方程正负根出现的规律,未加证明地给出了正负号法则,此后才被采用,但依旧议论纷纷.如法国数学家阿纳德(1612~1694)认为:若承认-1∶1=1∶-1,而-1<1,那么较小数与较大数的比,怎能等于较大数与较小数之比呢?直到1831年,英国著名数学家德摩根(A.DeMorgan,1806~1871)在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的.他举例说:“父亲活56,他的儿子29岁,问什么时候,父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56+x=2(29+x),得x=-2,他说这个结果是荒谬的. 负数的地位最后是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的.1860年维尔斯在柏林大学的一次讲课时,把有理数定义为整数对,即当m,n为整数时,n/m(m≠0)定义为一个有理数,当m,n中有一个为负整数时,就得到一个负有理数.这就把负数的基础确立在整数基础上.40年后,皮亚诺在著名的《算术原理新方法》(1889)中又用自然数确立了整数的地位:设a,b为自然数,则数对(a,b)即“a-b”定义一个整数,当a>b时为正整数;a<b时就得到了一个负整数.至此,通过近2000年的努力,历经数十代数学家的前仆后继的工作和努力,负数的地位终于被牢固地确立了,半个多世纪的争论也终于降下了帷幕. 需要考虑比零小的数字的时候就出现了负数。赚钱没赚上反而亏本了以正数是不能表示的,所以就有了负数。零的出现比负数晚,在西方。

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